Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 16
Himpunan 20 buah bilangan mempunyai rata-rata 20. Sembilan di antara bilangan itu rata-ratanya 9. Rata-rata dari 11 bilangan yang tersisa ialah ...
A. 11 B. 15 C. 25 D. 29 E. 30
Pembahasan:
$n_1 = 9$ dan $\bar{x}_1$
$n_2 = 11$
$\bar{x}_{gabungan} = 20$
$\bar{x}_2 = ...?$
$\begin{align*} \bar{x}_{gabungan} &= \frac{n_1. \bar{x}_1 + n_2. \bar{x}_2}{n_1 + n_2} \\
20 &= \frac{9.9 + 11. \bar{x}_2}{9 + 11} \\
400 &= 81 + 11. \bar{x}_2 \\
319 &= 11. \bar{x}_2 \\
29 &= \bar{x}_2
\end{align*}$
Kunci: D
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 17
Diketahui $p$ ialah sembarang bilangan lingkaran positif, $2x + p = y$, $p + y = x$, dan $x + y = z$. Tentukan nilai maksimum yang mungkin dari $(x + y + z)$.
A. 10 B. -10 C. 20 D. -20 E. 30
Pembahasan:
Diketahui:
$p > 0$
$2x + p = y$ ...... pers. (1)
$p + y = x$ ........ pers. (2)
$x + y = z$ ........ pers. (3)
Jumlahkan pers. (1) dengan (2), diperoleh:
$2x + 2p + y = x + y$
$x + 2p = 0$
$x = -2p$
$2x + p = y$
$2.(-2p) + p = y$
$-3p = y$
Substitusi ke pers. (3)
x + y = z
-2p - 3p = z
-5p = z
Nilai maksimum (bernilai positif)
= x + y + z
= 2p + 3p + 5p
= 10p
Kunci: A
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 18
Perhatikan gambar berikut ini:
A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 E. 15
Pembahasan:
Dengan Teorema Bendera Inggris (British Flag Teorem):
$\begin{align*} AP^2 + CP^2 &= BP^2 + DP^2 \\
5^2 + CP^2 &= (\sqrt{160})^2 + 3^2 \\
25 + CP^2 &= 160 + 9 \\
CP^2 &= 144 \\
CP^2 &= 12
\end{align*}$
Kunci: B
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 19
Hitunglah: $\frac{(2008-2007)^2 + (2008 + 2007)^2}{2008^2 + 2007^2}$
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
Pembahasan:
$\frac{(2008-2007)^2 + (2008 + 2007)^2}{2008^2 + 2007^2}$
$= \frac{2008^2 - 2.2008.2007 + 2007^2 + 2008^2 + 2.200.2007 + 2007^2}{2008^2 + 2007^2}$
$= \frac{2(2008^2 + 2007^2)}{2008^2 + 2007^2}$
=2
Kunci: B
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 20
Hitunglah: $\frac{657 \times 657 \times 657 - 368 \times 368 \times 368}{657 \times 657 + 657 \ times 368 + 368 \times 368}$
A. 273 B. 285 C. 289 D. 290 E. 292
Pembahasan:
Ingat: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$\begin{align*} &\frac{657 \times 657 \times 657 - 368 \times 368 \times 368}{657 \times 657 + 657 \times 368 + 368 \times 368} \\
&= \frac{657^3 - 368^3}{657^2 + 657 \times 368 + 368^2} \\
&= \frac{(657 - 368)(657^2 + 657 \times 368 + 368^2)}{657^2 + 657 \times 368 + 368^2} \\
&= 657 - 368 \\
&= 289
\end{align*}$
Kunci: C
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 21
Perhatikan gambar!
A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 E. 53
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut:
$\begin{align*} \frac{HC}{PF} &= \frac{HF}{PA} \\
\frac{y}{x} &= \frac{12}{z} \\
yz &= 12x
\end{align*}$
Perhatikan $\Delta BGE$ dan $\Delta EPA$ merupakan dua segitiga yang sebangun, maka berlaku:
$\begin{align*} \frac{BG}{EP} &= \frac{GE}{PA} \\
\frac{18-y}{12-x} &=\frac{12}{z} \\
18z - yz &=144 - 12x \\
18z - 12x &= 144 - 12x \\
18z &= 144 \\
z &= 8
\end{align*}$
$\begin{align*} Luas \ \Delta AEF &= \frac{1}{2}EF.AP \\
&= \frac{1}{2}.12.8 \\
&=48
\end{align*}$
Kunci: A
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 22
Perhatikan persegi panjang ABCD berukuran 9 cm x 5 cm.
A. 1,5 B. 2 C. 3 D. 3,5 E. 4
Pembahasan:
Berdasarkan isu dan gambar maka kita peroleh:
EBCF ialah persegi dengan ukuran 5 cm x 5 cm.
AEIJ ialah persegi dengan ukuran 4 cm x 4 cm.
GFIH ialah persegi dengan ukuran 1 cm x 1 cm.
maka DGHJ ialah persegi panjang dengan ukuran 3 cm x 1 cm.
Luas DGHJ = 3 x 1 = 3 cm$^2$
Kunci: C
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 23
Lingkaran dengan sentra A berjari-jari 3 cm dan lingkaran dengan sentra berjari-jari 1 cm menyerupai terlihat pada gambar.
A. 11 cm
B. $2 \sqrt{2} + 8$ cm
C. $10 \sqrt{2}$ cm
D. $3 \sqrt{2} + 8$ cm
E. $3 \sqrt{3} + 9$ cm
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini:
IJ = EG = $\sqrt{(3 + 1)^2 - (3 - 1)^2} = 2\sqrt{3}$
dengan perbandingan segitiga maka kita peroleh CJ = $\sqrt{3}$
misalkan DF = DI = x
Pada segitiga DOC berlaku pythagoras:
$OD^2 + OC^2 = CD^2$
$(x + 3)^2 + (3 + 3\sqrt{3})^2 = (x + 3\sqrt{3})^2$
$x^2 + 6x + 9 + 9 + 18\sqrt{3} + 27 = x^2 + 6x \sqrt{3} + 27$
$6x \sqrt{3} - 6x = 18\sqrt{3} + 18$
$x = \frac{18 \sqrt{3} + 18}{6 \sqrt{3} - 6}$
$x = \frac{3 \sqrt{3} + 3}{ \sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$
$x = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{3 - 1}$
$x = 6 + 3\sqrt{3}$
$OD = OF + DF$
$OD = 3 + 6 + 3\sqrt{3}$
$3\sqrt{3} + 9$
Kunci: E
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 24
Perhatikan gambar di bawah!
Diketahui $\angle PST = 83^o$ dan $\angle PQT = 41$^o$. Garis PQ dan RS sejajar, demikian juga garis PS dan QT sejajar. Berapakah besar sudut x?
A. 120$^o$ B. 121$^o$ C. 122$^o$ D. 123$^o$ E. 124$^o$Pembahasan:
$\angle PQT$ dan $\angle SRQ$ ialah sudut dalam sepihak.
$\begin{align*} \angle PQT + \angle SRQ &= 180^o \\
41^o + \angle SRQ &= 180^o \\
\angle SRQ &= 139^o
\end{align*}$
$\begin{align*} \angle SPQ &= \angle SRQ \\
\angle SPU + \angle UPQ &= 139^o \\
83^o + \angle UPQ &= 139^o \\
\angle UPQ &= 56^o
\end{align*}$
$\begin{align*} \angle PUR + \angle URQ + \angle PQT + \angle UPQ &= 360^o \\
x + 139^o + 41^o + 56^o &= 360^o \\
x &= 124^o
\end{align*}$
Kunci: E
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 25
Suatu tempat dibatasi oleh persamaan: $y = 2x + 2$, $y = \frac{1}{2}x + 1$, dan $y = -\frac{3}{4}x + 7$. Berapakah nilai maksimum $y$ pada tempat tersebut?
A. $\frac{62}{11}$ B. $\frac{40}{11}$ C. $\frac{60}{11}$ D. $\frac{50}{11}$ E. $\frac{20}{11}$
Pembahasan:
Untuk mennyelesaikan duduk perkara ini, kita buat skema grafiknya terlebih dahulu untuk lebih memahaminya, perhatikan grafik berikut ini.
$y = 2x + 2 \leftrightarrow 2x - y = -2$ .... pers. (1)
$y = -\frac{3}{4}x + 7 \leftrightarrow 3x + 4y = 28$ .... pers. (2)
untuk mengeliminasi x, pers. (1) dikali 3 dan pers. (2) dikali 2,
$6x - 3y = -6$
$6x + 8y = 56$
--------------------- (-)
$-11y = -62$
$y = \frac{62}{11}$
Kunci: A
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 26
Bilangan segitiga ialah bilangan yang berbentuk rumus $\frac{n(n + 1)}{2}$ dengan $n$ bilangan asli. Banyak bilangan segitiga yang kurang dari 100 ialah ...
A. 8 B. 9 C. 10 D. 13 E. 15
Pembahasan:
$\frac{n(n + 1)}{2} \le 100$
$n^2 + n \le 13.14 \le 200$
$n = 13$
Kunci: D
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 27
Diketahui jumlah 101 bilangan lingkaran berurutan ialah 101. Bilangan lingkaran terbesar di dalam barisan bilangan itu ialah ....
A. 51 B. 56 C. 100 D. 101 E. 150
Pembahasan:
Misalkan suku pertama = $a$, alasannya berurutan maka $b$ = 1
$\begin{align*} S_n &= \frac{n}{2} \left [2a + (n - 1)b \right ] \\
101 &= \frac{101}{2} \left (2a + 100 \right ) \\
2 &= 2a + 100 \\
-98 &= 2a \\
-49 &= a
\end{align*}$
Bilangan lingkaran terbesar:
$\begin{align*} U_{101} &= a + 100b \\
&= -49 + 100 \\
&= 51
\end{align*}$
Kunci: A
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 28
Berapakah banyak bilangan 2 digit yang nilainya 7 kali jumlah digitnya?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
Pembahasan:
Misal: ab ialah bilangan 2 digit
ab = 7(a + b)
10a + b = 7a + 7b
3a = 6b
a = 2b
kemungkinan-kemungkinannya:
b = 1 $\rightarrow$ a = 2, maka bilangan itu ialah 21
b = 2 $\rightarrow$ a = 4, maka bilangan itu ialah 42
b = 3 $\rightarrow$ a = 6, maka bilangan itu ialah 63
b = 4 $\rightarrow$ a = 8, maka bilangan itu ialah 84
Jadi, seluruhnya ada 4.
Kunci: D
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 29
Pecahan $\frac{s}{t}$ ialah bagian sejati, kalau $s < t$ dan faktor komplotan terbesar ialah 1. Jika $t$ mempunyai nilai mulai dari 2 hingga dengan 9 dan $s$ bilangan lingkaran konkret maka banyaknya bagian sejati berbeda yang sanggup dibentuk ialah ....
A. 26 B. 27 C. 28 D. 30 E. 36
Pembahasan:
Jika t = 2, maka s = 1, terdapat 1 bagian sejati.
Jika t = 3, maka s = {1, 2}, terdapat 2 bagian sejati.
Jika t = 4, maka s = {1, 3}, terdapat 2 bagian sejati.
Jika t = 5, maka s = {1, 2, 3, 4}, terdapat 4 bagian sejati.
Jika t = 6, maka s = {1, 3, 5}, terdapat 3 bagian sejati.
Jika t = 7, maka s = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, terdapat 6 bagian sejati.
Jika t = 8, maka s = {1, 3, 5, 7}, terdapat 4 bagian sejati.
Jika t = 9, maka s = {1, 2, 4, 5, 7, 8}, terdapat 6 bagian sejati.
Seluruhnya = 1 + 2 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 6 = 28 bagian sejati.
Kunci: C
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 30
Bentuk sederhana dari:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + ... + \frac{1}{2.005(2.005 + 1)}$
ialah ....
A. $\frac{2004}{2005}$
B. $\frac{2003}{2005}$
C. $\frac{2005}{2006}$
D. $\frac{2003}{2006}$
E. $\frac{2004}{2006}$
Pembahasan:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + ... + \frac{1}{2.005(2.005 + 1)}$
=$\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{2004.2005}+ \frac{1}{2005(2006)}$
= $\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + ...+ \left( \frac{1}{2004} - \frac{1}{2005} \right) + \left( \frac{1}{2005} - \frac{1}{2006} \right)$
=$1- \frac{1}{2006}$
=$\frac{2005}{2006}$
Kunci: C
Akhirnya selesai. Semoga bermanfaat bagi kita semua.
Baca juga: Soal dan Pembahasan Matematika Olimpiade Guru Sekolah Menengan Atas 2018 LOSPI (No. 1 - 15)
){kind=link}
Post a Comment
Post a Comment